13 de abril de 2008

Palestra

Tema: Atividades introdutórias das idéias de Combinatória e Probabilidade nas séries finais do Ensino Fundamental.
Local: Centro Universitário Moacyr Sreder Bastos
Data: 26 de março de 2008


Resumo: Nesta palestra serão apresentadas algumas atividades que visam propiciar aos alunos das séries finais do Ensino Fundamental a aquisição e aplicação dos conceitos de Combinatória e Probabilidade a nível básico. Através da Educação Matemática será feita uma reflexão a cerca da introdução dos pensamentos combinatório e probabilístico neste nível de ensino. Esta atitude é fortemente encorajada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais. Este contato inicial com situações de contagem e com a realidade dos experimentos aleatórios tende a facilitar a estruturação e a consolidação dos conceitos citados acima, quando estes forem abordados no Ensino Médio.

Palavras-chave: Combinatória – Probabilidade – Educação Matemática


1. Introdução

O trabalho que será descrito através das linhas que seguem, tem sua origem na possibilidade de apresentação na IV Semana de Matemática da UFF na forma de pôster ou comunicação oral. Não foi possível a exposição no evento citado anteriormente, mas o tema nos pareceu bastante interessante. Outra motivação para o tema, é o fato de que ambos os tópicos (Combinatória e Probabilidade) estão entre os mais importantes do Ensino Médio. Por isso, se no Ensino Fundamental os alunos conseguirem absorver algumas idéias básicas desses tópicos, a seqüência de exposição deles no Ensino Médio será facilitada.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais para os terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental existem várias referências ao tema e à ações em geral no ensino de Matemática. Vejamos algumas:

Em “Objetivos gerais para o ensino fundamental”:

i) “(...) As finalidades do ensino de Matemática visando à construção da cidadania indicam como objetivos do ensino fundamental levar o aluno a: (...) – fazer observações sistemática de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico);” (BRASIL, 1998:47-48)

Em “Conteúdos de Matemática para o ensino fundamental”:

ii) “(...) Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitem ao cidadão “tratar” as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando idéias relativas à probabilidade e à combinatória.” (BRASIL, 1998:49)

iii) “Integrarão este bloco estudos relativos a noções de Estatística e de probabilidade, além dos problemas de contagem que envolvem o princípio multiplicativo. Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos.(...) Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que se podem identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade acerca do resultado de um deles. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações em que o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis). Relativamente aos problemas de contagem, o objetivo é levar o aluno a lidar com situações que envolvam diferentes tipos de agrupamentos que possibilitem o desenvolvimento do raciocínio combinatório e a compreensão do princípio multiplicativo para sua aplicação no cálculo de probabilidades.” (BRASIL, 1998:52)

Em “Objetivos de Matemática para o terceiro ciclo”:

iv) “(...) – resolver situações-problema que envolvam o raciocínio combinatório e a determinação da probabilidade de sucesso de um determinado evento por meio de uma razão.” (BRASIL, 1998:65)

Em “Critérios de avaliação para o terceiro ciclo”:

v) “- Resolver problemas de contagem e indicar as possibilidades de sucesso de um evento por meio de uma razão. Por meio deste critério o professor verifica se o aluno é capaz de resolver problemas de contagem com quantidades que possibilitem obter o número de agrupamentos, utilizando procedimentos diversos, como a construção de diagrama de árvore, tabelas etc., sem o uso de fórmulas. Verifica, também, se o aluno é capaz de indicar a probabilidade de sucesso de um evento por meio de uma razão, construindo um espaço amostral em situações como o lançamento de dados, moedas etc.” (BRASIL, 1998:77)

Em “Conteúdos propostos para o ensino de Matemática no quarto ciclo”:

vi) “Tendo em vista que os alunos já desenvolvem estratégias para resolver os problemas de contagem nos ciclos anteriores, apoiados em tabelas, diagramas etc., os problemas poderão apresentar números um pouco maiores de modo que percebam que o princípio multiplicativo é um recurso que auxilia resolver mais facilmente muitos problemas. O estudo da probabilidade tem por finalidade fazer com que os alunos percebam que por meio de experimentações e simulações podem indicar a possibilidade de ocorrência de um determinado evento e compará-la com a probabilidade prevista por meio de um modelo matemático. Para tanto, terão de construir o espaço amostral como referência para estimar a probabilidade de sucesso, utilizando-se de uma razão.” (BRASIL, 1998:85-86)


Como se pode notar a ocorrência do nosso tema nos PCNs é extensa. Mas em outras publicações de orientação, ele também se faz presente. Nos objetivos de ensino para os ciclos de formação da Secretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro, divulgados em agosto do ano passado, encontramos nos objetivos do 2º ciclo – período final (que corresponde à antiga 5ª série, hoje denominado 6º ano):

“Reconhecimento do princípio multiplicativo de contagem como organizador da enumeração de possibilidades.”

“Reconhecimento e identificação de situações de previsão e chance na leitura e interpretação de informações em diversos meios de comunicação.”

Nos objetivos do 3º ciclo (que corresponde aos 7º, 8º e 9º anos, antigas 6ª, 7ª e 8ª séries), temos ainda:

“Desenvolvimento da relação entre porcentagem, possibilidade, chance e probabilidade.”

Também encontramos referências ao tema num documento intitulado “Reorientação Curricular – 2ª versão” da Secretaria Estadual de Educação do Rio de Janeiro, de 2005. Na página 48, no quadro que elenca os Tópicos Centrais para a 5ª série, na coluna do Campo de Informação, aparece como um dos tópicos “probabilidades discretas”. Logo abaixo, na abordagem e ordenação recomendadas para o campo numérico-aritmético, o princípio multiplicativo é listado como uma das abordagens para a operação da multiplicação de números naturais. As probabilidades discretas simples aparecem como aprimoramento sugerido (não obrigatório) no campo de informação (página 51). Este tópico é retomado na série seguinte, agora como obrigatório. Também nas duas últimas séries do Ensino Fundamental, o tópico “probabilidades” é destacado como obrigatório.


2. Por que ensinar Matemática?

O Ensino Fundamental tem por objetivo básico a formação do cidadão, isto é, a preparação do indivíduo de tal maneira que ele possa atuar de forma crítica, responsável e construtiva no exercício dos seus direitos e deveres políticos, civis e sociais, num processo constante de conhecimento (e reconhecimento) de si, do grupo social em que está inserido e do ambiente em que vive. Tal atuação deve ser marcada pelo diálogo e expressão consciente de suas idéias, utilizando formas de linguagem diversas, de natureza verbal, musical, matemática, gráfica, plástica e corporal.
Nesta perspectiva, a Matemática como parte da matriz curricular, assume um papel importantíssimo neste nível escolar. Como citam os PCNs:

“(...) a Matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao desenvolver metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios.” (BRASIL, 1998:27)


Como instrumento de análise e resolução de problemas, sejam estes provenientes da vida prática ou intrínsecos à própria ciência, a Matemática contribui organizando, inter-relacionando, idealizando grandezas, números, formas, espaço e movimento, quase sempre associados à fenômenos do mundo real.


3. A importância da Educação Matemática

Na construção do saber matemático, o docente possui um papel fundamental, seja ele como mediador do conhecimento ou como instigador de situações em que a Matemática apareça como ferramenta de expressão de idéias.
A visão errônea de que o saber acima citado é privilégio de alguns indivíduos ou de grupos específicos, transporta tanto alunos como professores para posições defensivas e de até oposição a esta disciplina; o que conduz muitas vezes o processo de ensino-aprendizagem a uma situação custosa e desanimadora. Tal dificuldade leva a uma prática pedagógica desestimulante e destituída de verdadeiro aproveitamento.
Por isso, as discussões que abrangem a tríade ensino/aprendizagem/saber matemático, são tão importantes e estão de tal forma disseminadas por várias instituições em todo o Brasil e no Mundo.


4. O raciocínio combinatório

Está relacionado à problemas de contagem. A contagem direta de elementos de um determinado conjunto finito de agrupamentos não demanda a utilização de nenhuma ferramenta sofisticada. A organização dos dados pode ser feita através de tabelas, gráficos ou diagramas de árvore. Porém, ao ter contato com situações-problema que envolvem diferentes tipos de agrupamentos, que são classificados segundo um ou mais critérios, o aluno pode desenvolver métodos e técnicas que facilitam a contagem indireta. Tais procedimentos caracterizam o raciocínio combinatório. A utilização do princípio multiplicativo nas séries finais do Ensino Fundamental funciona como uma materialização desta forma de pensar.


5. O raciocínio probabilístico

Analisar acontecimentos de natureza aleatória, tais como fenômenos e eventos naturais, científico-tecnológicos ou sociais, identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade acerca do resultado de um deles, constituem as áreas de interesse deste tipo de raciocínio. É fundamental no trato com probabilidades, a caracterização do espaço amostral e de cada evento em si. Na quantificação das possibilidades, o raciocínio combinatório é um instrumental de suma importância e operacionalidade. O cálculo das probabilidades não pode se afastar do caráter experimental. A reprodução, e conseqüente, observação de um dado evento reforçam a face estimativa deste tipo de raciocínio.


6. A relação com outros conceitos

No 6º ano, o conceito de contagem (combinatória) pode ser trabalho no capítulo que revisa as operações com números naturais, reforçando a utilização de tais números no sentido de quantificar. O princípio multiplicativo pode ser introduzido paulatinamente através de tabelas, diagramas de árvore ou outra forma de organização dos dados de uma situação-problema. Ainda neste ano, os tópicos “comparação de frações” e “equivalência de frações” são utilizados para introduzir as noção de ‘fenômeno aleatório’, ‘chance’, ‘provável e improvável’ e ‘possível e impossível’.
No 7º ano, com o tratamento das noções de ‘razão’ e ‘porcentagem’, pode-se definir a probabilidade através de uma razão entre os casos favoráveis e o número total de casos (supondo eqüiprobabilidade destes casos possíveis), conforme o modelo laplaciano.
No 8º ano, retoma-se o cálculo de probabilidades simples, mas cujo espaço amostral necessite do princípio multiplicativo para ter definida a quantidade de seus elementos.
Enfim, no 9º ano, no cálculo de probabilidades pode-se incluir o modelo freqüentista, comparando os resultados deste com os do modelo laplaciano.


7. Exemplos de atividades

Aqui estão listadas algumas atividades que encontramos em livro didático de edição recente (pós PCNs), que visam introduzir e/ou aprofundar os conceitos abordados nesta pesquisa:

ATIVIDADE 1:

Um mágico se apresenta vestindo calça e paletó de cores diferentes. Ele possui as peças nas seguintes cores:

De quantas maneiras diferentes o mágico poderá se vestir para um espetáculo?

Solução:

Utilizando um diagrama de árvore teremos:Resposta: De 8 maneiras.

Obs.: Nesta atividade, aplicada no 6º ano (antiga 5ª série) durante a revisão da multiplicação em , se introduz a contagem através de diagramas de árvore ou de tabelas. Variando-se a quantidade de elementos o aluno é levado a perceber a importância de outras formas de contagem, tais como o princípio multiplicativo.



ATIVIDADE 2:

Rosa vai girar cada uma das seguintes roletas mostradas nas figuras:

a) Que cor terá mais chance de sair na roleta A? E na roleta C?
b) Que cor será menos provável de sair na roleta B? E na roleta D?
c) Dê uma cor que seja impossível de sair na roleta C?

Solução:
a) laranja; verde
b) laranja; azul ou rosa
c) branca

Obs.: Nesta atividade, aplicada também no 6º ano (antiga 5ª série) no tópico “comparação de frações”, as idéias de “chance”, “mais ou menos provável” e “possível ou impossível” são tratadas de forma intuitiva, aqui representada pelo preenchimento maior ou menor de uma parte do disco por uma cor ou, a utilização da cor neste preenchimento.



ATIVIDADE 3:

Complete a tabela que mostra alguns dados de uma pesquisa feita entre 100 pessoas que estavam em um supermercado.

Escolhendo uma pessoa dentre essas, calcule a probabilidade de que ela seja:
a) homem;
b) mulher solteira;
c) pessoa casada;
d) homem casado.

Solução:

Obs.: Nesta atividade, dirigida ao 9º ano (antiga 8ª série) num capítulo específico de probabilidade, a obtenção da resposta é fruto de uma definição anterior:



8. Conclusão

As atividades apresentadas deixam bem claro que é possível aproveitar situações já existentes nos currículos comuns das séries finais do Ensino Fundamental para se introduzir as noções básicas de Combinatória e Probabilidade. Tais noções não tornariam onerosos estes currículos nem levaria a uma limitação no tempo de exposição de outros conceitos. Outrossim, as situações-problema que envolvem as noções acima citadas integrariam conceitos que até então pareciam separados ou estanques. Outra observação importante está ligada aos livros didáticos consultados por nós: atividades envolvendo os conceitos de combinatória e probabilidade raramente constam em livros cujas edições são anteriores à publicação dos PCNs. Já nas edições pós-PCNs, este tipo de atividade aparece de forma mais freqüente.


9. Referências Bibliográficas

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental: Matemática. Brasília, 1998. 148 p.

RIO DE JANEIRO, Secretaria Municipal de Educação. Objetivos de ensino para os ciclos de formação. Agosto de 2007

RIO DE JANEIRO, Secretaria Estadual de Educação. Reorientação Curricular – 2ª versão. 2005.

BONJORNO, José Roberto. BONJORNO, Regina Azenha. OLIVARES, Ayrton. Matemática: fazendo a diferença. São Paulo: FTD, 2006.

ANDRINI, Álvaro. VASCONCELLOS, Maria José. Novo Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

NAME, Miguel Asis. Tempo de Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 1996.

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. São Paulo: Moderna, 1998.

Nenhum comentário: